Башня из алефов

В.Н. Катасонов. Боровшийся с бесконечным. Философско-религиозные аспекты генезиса теории множеств Георга Кантора. - М.: Мартис, 1999, 207 с.

Математика есть царица наук", - говаривал "король математиков" Карл Фридрих Гаусс, и не только он. Пожалуй, этот лозунг написан на интеллектуальных знаменах Нового времени. Ведь именно колоссальные успехи в математике, математическом естествознании и основанной на них технике составляют истинную гордость последних столетий европейской цивилизации. Ни в какой другой области культуры она ведь не добилась столь значительных успехов.

А в основании математики последнего столетия лежит знаменитая теория множеств Георга Кантора. Если вы откроете большую часть современных серьезных учебников математического и функционального анализа или топологии, или теории вероятности, то в начале почти наверняка увидите экскурс в теорию множеств. Почти вся современная математическая литература написана на теоретико-множественном языке. Камень теории множеств лежит в основании грандиозного здания современной науки.

Но в самом сердце этой самой фундаментальной вроде бы теории, лежащей в основе "царицы наук", почти сразу после ее создания были обнаружены очень серьезные парадоксы и проблемы, не преодоленные до сих пор. Уже сто лет с тех пор математика находится в состоянии перманентного кризиса, который остро воспринимается самыми выдающимися учеными. Великий немецкий математик Герман Вейль писал по этому поводу: "Мы менее чем когда-либо уверены в незыблемости наиболее глубоких оснований логики и математики. Как у всех и всего в мире, сегодня у нас есть свой кризис". Таково и современное положение дел в науке, которое, несомненно, имеет и свой существенный духовный смысл.

Что же представляет собой теория множеств, лежащая в центре этого "кризиса", и каково ее метафизическое значение? С другой стороны, чего стремился достичь создатель этой теории Георг Кантор, совершая свою "революцию" в математике, и чего он добился? На эти вопросы пытается ответить книга известного современного философа, имеющего к тому же серьезное математическое образование, Владимира Николаевича Катасонова.

Кантор мыслил свою теорию как совершенно новое исчисление бесконечного, "трансфинитную" (то есть "сверхконечную") математику. По его идее создание такого исчисления должно было внести переворот не только в математику, но и в метафизику и теологию, которые интересовали Кантора едва ли не больше, чем собственно научные исследования.

Действительно, почти вся предыдущая математическая, философская и теологическая традиция считала постижение актуально бесконечного недоступным для человеческого, то есть конечного ума. Многие великие умы во главе с Аристотелем шли еще дальше, отрицая не только познаваемость, но и само существование актуально-бесконечных величин (например, бесконечной протяженности или бесконечного числа). Они признавали только потенциальную бесконечность, заключающуюся, например, в возможности постоянного добавления единицы к числовому ряду.

Кантор был единственным математиком и философом, который считал, что актуальная бесконечность не только существует в тварном мире, но и в полном смысле постижима человеком. Ради утверждения такой точки зрения он в течение десятилетий вел упорную борьбу почти со всеми современными ему философами и математиками, среди которых были и великие, такие, как Гельмгольц, Кронекер и Коши, отрицавшими законность построения математики на фундаменте актуально-бесконечного.

Что же вдохновляло Кантора на его борьбу? Владимир Катасонов ясно показывает, что в основе интеллектуальных устремлений создателя теории множеств лежала очень странная метафизическая и теологическая концепция (о которой он, между прочим, вел продолжительные споры с известными католическими теологами - кардиналом Францелином и Гутберлетом). И если формулировать основную ее идею очень грубо, то можно сказать, что Кантор рассматривал выведенную в его теории последовательность трансфинитных чисел - "алефов" - как своего рода интеллектуальную лестницу к Абсолютному Бесконечному Кантор постулирует существование целого мира познаваемых человеком бесконечных сущностей, постижение которых будет поднимать математиков, а вслед за ними и теологов все выше и выше, все ближе и ближе к Богу. Именно этой задаче, задаче достижения Неба чисто человеческими, научными силами, похоже, посвятил он свою жизнь┘

Ученый твердо верил, что он избран Богом, чтобы совершить великий переворот в науке, и эта его вера поддерживалась мистическими видениями некоей музы, которая являлась математику и уверяла его в абсолютной истинности теории множеств. Титаническая попытка Георга Кантора, впрочем, закончилась странно: в теории были обнаружены трудно преодолимые парадоксы, ставящие, между прочим, под сомнение и значение любимой идеи Кантора - "лестницы алефов", последовательного ряда трансфинитных чисел. Сам же математик окончил жизнь в сумасшедшем доме, напоследок написав вполне богохульное, хотя и мистическое, изложение евангельской истории, предвосхитив в чем-то модных современных литераторов.

Таков был конец построения одного из вариантов "научной мистики", во многом несовместимой с мистикой традиционной. Автор новой книги Владимир Катасонов считает такой конец далеко не случайным. Не случайно и то, что на обложке книги красуется величественная картина Вавилонской башни┘