Постоянный Больцман

На Центральном кладбище Вены на надгробном памятнике Больцману запечатлено полученное им статистическое выражение для энтропии. Фото Мартина Ролла

Немного физики

Для совокупности многих взаимодействующих между собой и с внешним полем точечных частиц можно написать систему уравнений Ньютона. Но получение ее решения оказывается очень сложной задачей из-за большого числа используемых параметров: 6N при числе частиц в системе, равном N. Для решения этой проблемы в физике уже использовались другие подходы (термодинамика и гидродинамика), в которых состояние твердой, жидкой или газообразной среды характеризовалось не всеми параметрами взаимодействующих частиц, а лишь несколькими усредненными величинами – температурой, плотностью, давлением, скоростью или смещением.

Кинетическое уравнение Больцмана написано не для таких усредненных величин, а для одночастичной функции распределения, которая зависит от времени, трех пространственных координат, трех компонент скорости и определяет относительное число частиц с данным значением скорости в данной точке пространства. Ее величину можно считать также локальной вероятностью для частиц системы иметь соответствующую скорость. Интегрирование этой функции по всем скоростям дает локальную плотность.

Изменение функции распределения частиц определяется их независимым движением во внешнем поле и эффектом взаимных парных столкновений, который учитывается так называемым интегралом столкновений. Такой подход давал возможность рассмотрения неравновесных состояний, которые даже локально не могут характеризоваться определенным значением температуры. Это был качественно новый аспект по сравнению с термодинамикой и статистической физикой, где рассматриваются только равновесные или квазиравновесные состояния.

Историческая значимость и фундаментальность уравнения Больцмана заключается в переходе от уравнений для средних величин к уравнению для функции распределения. Этот шаг определял то направление развития физической теории, которое в итоге вышло за рамки классической физики и увенчалось созданием аппарата квантовой механики.

Практическая ценность уравнения Больцмана заключается в том, в частности, что с его помощью можно вычислять такие кинетические коэффициенты среды, как вязкость и температуропроводность, и описывать неравновесные газодинамические течения.

Речь шла о бесконечности и вечности

Используя полученное уравнение, Больцман также доказал так называемую Н-теорему: о росте энтропии в изолированной системе частиц. Этот результат, как и само уравнение Больцмана, был подвергнут ожесточенной критике, повлиявшей на состояние здоровья ученого, который покончил жизнь самоубийством в 1906 году. На Центральном кладбище Вены на его надгробном памятнике запечатлено полученное им статистическое выражение для энтропии через логарифм вероятности реализации данного состояния с коэффициентом – постоянной Больцмана.

Среди критиков Больцмана были такие выдающиеся, вошедшие в историю ученые-физики, как Лошмидт, Цермело, Мах, Оствальд. Обсуждаемые вопросы привлекали внимание не только математиков, физиков и химиков, но и гораздо более широкие общественные слои. Один из интересующихся философскими аспектами возникающих перед учеными проблем и не очень тогда известный автор (В.И. Ленин) в 1909 году опубликовал книгу «Материализм и эмпириокритицизм», в которой кроме Больцмана, Лошмидта, Маха, Оствальда упоминаются также Хендрик Лоренц и Анри Пуанкаре наряду со многими другими учеными и иными известными тогда деятелями.

В этом году исполнилось 110 лет со дня смерти Пуанкаре, мысли и работы которого о времени и пространстве внесли решающий вклад в создание фундамента релятивистского раздела физики. В книге «Материализм и эмпириокритицизм» Пуанкаре критикуется за свою философскую непоследовательность в отношении к формулированию законов физики.

Масло в огонь дискуссии добавляла и сформулированная еще в 1865 году Рудольфом Клаузиусом гипотеза о тепловой смерти Вселенной. Можно сказать, что речь шла о бесконечности и вечности.

В основе этой проблемы лежит особенность описания поведения системы в рамках уравнений ньютоновской механики, когда действующая сила определяет не скорость частицы (первая производная), а ее ускорение (вторая производная). Внутри такой системы нет необратимых процессов. То есть через достаточно длительное время система может снова подойти (вернуться) сколь угодно близко к своему начальному состоянию (теорема возврата Пуанкаре, 1890 год).

Уравнение Больцмана такого возврата не допускает, поскольку при его выводе сделаны некоторые предположения, не следующие из уравнений Ньютона.

Яростная дискуссия по поводу уравнения Больцмана была составной частью назревавшей революции в физике. Одним из результатов стало создание релятивистского раздела физики, где принцип относительности Галилея становится частным случаем преобразований Лоренца и время утрачивает свой неизменный абсолютный характер. Анри Пуанкаре в работе 1898 года писал: «Одновременность двух событий или порядок их следования, равенство двух длительностей должны определяться так, чтобы формулировка естественных законов была по возможности наиболее простой. Другими словами, все эти правила, все эти определения – только плод неосознанного стремления к удобству».

Если второе предложение этого утверждения не может не возбудить философа-материалиста, то его основная часть явно свидетельствует о подходе к завершающему этапу формулирования нового физического принципа – инвариантности законов относительно преобразований Лоренца. Через два года было показано, что уравнения Максвелла, сформулированные еще в 1864 году, инвариантны относительно именно этих преобразований, а не преобразований Галилея. Понимание общих свойств пространства-времени выходило на новый уровень.

Приключения уравнения в России

Кинетическое уравнение Больцмана фактически оказалось «фигурантом» в еще одном взрыве ученых страстей. На этот раз – в СССР в конце первой половины ХХ века. В появившейся в 1937 году статье Льва Ландау «Кинетическое уравнение в случае кулоновского взаимодействия», не содержащей каких-либо ссылок, была предпринята попытка использовать больцмановский подход, учитывающий только парные соударения, фактически за пределами его применимости. А на следующий год в том же «Журнале экспериментальной и теоретической физики» (ЖЭТФ) была опубликована статья Анатолия Власова (1908–1975) «О вибрационных свойствах электронного газа». В ней на основе другого подхода (метода самосогласованного поля) было выведено другое уравнение, получившее в итоге мировое признание под названием «уравнения Власова» или «Власова-Максвелла».

Однако на протяжении многих лет работа А.А. Власова после своего опубликования подвергалась ожесточенной критике. Начало этой кампании явно обозначилось в работе Л.Д. Ландау «О колебаниях электронной плазмы» (ЖЭТФ. 1946. Т. 16. С. 574) с самых первых слов: «Колебания электронной плазмы описываются при больших частотах сравнительно простыми уравнениями. Если частота колебаний достаточно велика, то… (далее Ландау приводит как бы ничей вывод уравнения Власова). Эти уравнения применены к изучению колебаний плазмы А.А. Власовым [1, 2], однако большая часть полученных им результатов является ошибочной».

Однако основной результат работы Власова заключается именно в выводе этих «сравнительно простых уравнений», от авторства которых Ландау явно пытается отлучить Власова! Можно понять досаду Ландау, не заметившего в своей работе 1937 года возможности написания «сравнительно простого» бесстолкновительного кинетического уравнения для плазмы, которое Власов получил в 1938 году. Но это нельзя считать оправданием для отклонений от норм научной этики.

О «перехлестах» проводимой против Власова критической кампании можно судить по следующему примечательному факту. В двухтомнике собрания трудов Л.Д. Ландау (М.: Наука, 1969) есть список статей, не включенных в этот сборник. Но даже в этом списке отсутствует упоминание об опубликованной в ЖЭТФ (1946. Т. 16. С. 246) и направленной против А.А. Власова статье четырех авторов (В.Л. Гинзбург, Л.Д. Ландау, М.А. Леонтович, В.А. Фок), которую через два десятилетия после ее появления уже просто не хотелось даже вспоминать. Но уроки прошлого совсем забывать все-таки не стоит, чтобы не наступать регулярно на одни и те же грабли. Об этом фактически напоминает изданная под редакцией А.А. Рухадзе книга «Об основополагающих работах А.А. Власова по физике плазмы и их обсуждении» (М., 2014).

Исследование фундаментальных проблем получения различных кинетических уравнений из точных законов классической и квантовой механики вместе с анализом допускаемых при этом приближений активно проводилось с середины прошлого века академиком Николаем Боголюбовым и его учениками, а также брюссельской школой Ильи Пригожина и другими учеными. (См., например, работу автора: Самохин А.А. «Об адиабатическом приближении для матрицы плотности изолированной спин-системы». ЖЭТФ. Т. 51, сентябрь, 1966).

Изучение других неравновесных состояний в системах ядерных спинов твердого тела привело к понятию отрицательной абсолютной температуры, которая горячее любой сколь угодно большой положительной температуры. Это понятие приближало создание лазера, а спиновые магнитно-резонансные явления были практически использованы для томографии.

В нормальных условиях фундаментальные и прикладные аспекты научной деятельности органично связаны между собой. Важно следить при этом, чтобы отклонения от нормы не становились обычным делом, а такая опасность в нашей жизни становится вполне реальной угрозой. n

Александр Александрович Самохин – доктор физико-математических наук, главный научный сотрудник Института общей физики им. А.М. Прохорова РАН.Александр Самохин

В потоке больших исторических годовщин и злободневных событий совсем незаметной может оказаться полуторавековая годовщина одного из знаменитых уравнений физической теории, которое написал в 1872 году австрийский физик-теоретик Людвиг Больцман (1844–1906). Это уравнение для системы многих частиц, подчиняющихся механике Ньютона, было качественным скачком в описании поведения многочастичных систем. К числу таких систем относится, например, воздух или другие не слишком плотные газы.

Немного физики

Для совокупности многих взаимодействующих между собой и с внешним полем точечных частиц можно написать систему уравнений Ньютона. Но получение ее решения оказывается очень сложной задачей из-за большого числа используемых параметров: 6N при числе частиц в системе, равном N. Для решения этой проблемы в физике уже использовались другие подходы (термодинамика и гидродинамика), в которых состояние твердой, жидкой или газообразной среды характеризовалось не всеми параметрами взаимодействующих частиц, а лишь несколькими усредненными величинами – температурой, плотностью, давлением, скоростью или смещением.

Кинетическое уравнение Больцмана написано не для таких усредненных величин, а для одночастичной функции распределения, которая зависит от времени, трех пространственных координат, трех компонент скорости и определяет относительное число частиц с данным значением скорости в данной точке пространства. Ее величину можно считать также локальной вероятностью для частиц системы иметь соответствующую скорость. Интегрирование этой функции по всем скоростям дает локальную плотность.

Изменение функции распределения частиц определяется их независимым движением во внешнем поле и эффектом взаимных парных столкновений, который учитывается так называемым интегралом столкновений. Такой подход давал возможность рассмотрения неравновесных состояний, которые даже локально не могут характеризоваться определенным значением температуры. Это был качественно новый аспект по сравнению с термодинамикой и статистической физикой, где рассматриваются только равновесные или квазиравновесные состояния.

Историческая значимость и фундаментальность уравнения Больцмана заключается в переходе от уравнений для средних величин к уравнению для функции распределения. Этот шаг определял то направление развития физической теории, которое в итоге вышло за рамки классической физики и увенчалось созданием аппарата квантовой механики.

Практическая ценность уравнения Больцмана заключается в том, в частности, что с его помощью можно вычислять такие кинетические коэффициенты среды, как вязкость и температуропроводность, и описывать неравновесные газодинамические течения.

Речь шла о бесконечности и вечности

Используя полученное уравнение, Больцман также доказал так называемую Н-теорему: о росте энтропии в изолированной системе частиц. Этот результат, как и само уравнение Больцмана, был подвергнут ожесточенной критике, повлиявшей на состояние здоровья ученого, который покончил жизнь самоубийством в 1906 году. На Центральном кладбище Вены на его надгробном памятнике запечатлено полученное им статистическое выражение для энтропии через логарифм вероятности реализации данного состояния с коэффициентом – постоянной Больцмана.

Среди критиков Больцмана были такие выдающиеся, вошедшие в историю ученые-физики, как Лошмидт, Цермело, Мах, Оствальд. Обсуждаемые вопросы привлекали внимание не только математиков, физиков и химиков, но и гораздо более широкие общественные слои. Один из интересующихся философскими аспектами возникающих перед учеными проблем и не очень тогда известный автор (В.И. Ленин) в 1909 году опубликовал книгу «Материализм и эмпириокритицизм», в которой кроме Больцмана, Лошмидта, Маха, Оствальда упоминаются также Хендрик Лоренц и Анри Пуанкаре наряду со многими другими учеными и иными известными тогда деятелями.

В этом году исполнилось 110 лет со дня смерти Пуанкаре, мысли и работы которого о времени и пространстве внесли решающий вклад в создание фундамента релятивистского раздела физики. В книге «Материализм и эмпириокритицизм» Пуанкаре критикуется за свою философскую непоследовательность в отношении к формулированию законов физики.

Масло в огонь дискуссии добавляла и сформулированная еще в 1865 году Рудольфом Клаузиусом гипотеза о тепловой смерти Вселенной. Можно сказать, что речь шла о бесконечности и вечности.

В основе этой проблемы лежит особенность описания поведения системы в рамках уравнений ньютоновской механики, когда действующая сила определяет не скорость частицы (первая производная), а ее ускорение (вторая производная). Внутри такой системы нет необратимых процессов. То есть через достаточно длительное время система может снова подойти (вернуться) сколь угодно близко к своему начальному состоянию (теорема возврата Пуанкаре, 1890 год).

Уравнение Больцмана такого возврата не допускает, поскольку при его выводе сделаны некоторые предположения, не следующие из уравнений Ньютона.

Яростная дискуссия по поводу уравнения Больцмана была составной частью назревавшей революции в физике. Одним из результатов стало создание релятивистского раздела физики, где принцип относительности Галилея становится частным случаем преобразований Лоренца и время утрачивает свой неизменный абсолютный характер. Анри Пуанкаре в работе 1898 года писал: «Одновременность двух событий или порядок их следования, равенство двух длительностей должны определяться так, чтобы формулировка естественных законов была по возможности наиболее простой. Другими словами, все эти правила, все эти определения – только плод неосознанного стремления к удобству».

Если второе предложение этого утверждения не может не возбудить философа-материалиста, то его основная часть явно свидетельствует о подходе к завершающему этапу формулирования нового физического принципа – инвариантности законов относительно преобразований Лоренца. Через два года было показано, что уравнения Максвелла, сформулированные еще в 1864 году, инвариантны относительно именно этих преобразований, а не преобразований Галилея. Понимание общих свойств пространства-времени выходило на новый уровень.

Приключения уравнения в России

Кинетическое уравнение Больцмана фактически оказалось «фигурантом» в еще одном взрыве ученых страстей. На этот раз – в СССР в конце первой половины ХХ века. В появившейся в 1937 году статье Льва Ландау «Кинетическое уравнение в случае кулоновского взаимодействия», не содержащей каких-либо ссылок, была предпринята попытка использовать больцмановский подход, учитывающий только парные соударения, фактически за пределами его применимости. А на следующий год в том же «Журнале экспериментальной и теоретической физики» (ЖЭТФ) была опубликована статья Анатолия Власова (1908–1975) «О вибрационных свойствах электронного газа». В ней на основе другого подхода (метода самосогласованного поля) было выведено другое уравнение, получившее в итоге мировое признание под названием «уравнения Власова» или «Власова-Максвелла».

Однако на протяжении многих лет работа А.А. Власова после своего опубликования подвергалась ожесточенной критике. Начало этой кампании явно обозначилось в работе Л.Д. Ландау «О колебаниях электронной плазмы» (ЖЭТФ. 1946. Т. 16. С. 574) с самых первых слов: «Колебания электронной плазмы описываются при больших частотах сравнительно простыми уравнениями. Если частота колебаний достаточно велика, то… (далее Ландау приводит как бы ничей вывод уравнения Власова). Эти уравнения применены к изучению колебаний плазмы А.А. Власовым [1, 2], однако большая часть полученных им результатов является ошибочной».

Однако основной результат работы Власова заключается именно в выводе этих «сравнительно простых уравнений», от авторства которых Ландау явно пытается отлучить Власова! Можно понять досаду Ландау, не заметившего в своей работе 1937 года возможности написания «сравнительно простого» бесстолкновительного кинетического уравнения для плазмы, которое Власов получил в 1938 году. Но это нельзя считать оправданием для отклонений от норм научной этики.

О «перехлестах» проводимой против Власова критической кампании можно судить по следующему примечательному факту. В двухтомнике собрания трудов Л.Д. Ландау (М.: Наука, 1969) есть список статей, не включенных в этот сборник. Но даже в этом списке отсутствует упоминание об опубликованной в ЖЭТФ (1946. Т. 16. С. 246) и направленной против А.А. Власова статье четырех авторов (В.Л. Гинзбург, Л.Д. Ландау, М.А. Леонтович, В.А. Фок), которую через два десятилетия после ее появления уже просто не хотелось даже вспоминать. Но уроки прошлого совсем забывать все-таки не стоит, чтобы не наступать регулярно на одни и те же грабли. Об этом фактически напоминает изданная под редакцией А.А. Рухадзе книга «Об основополагающих работах А.А. Власова по физике плазмы и их обсуждении» (М., 2014).

Исследование фундаментальных проблем получения различных кинетических уравнений из точных законов классической и квантовой механики вместе с анализом допускаемых при этом приближений активно проводилось с середины прошлого века академиком Николаем Боголюбовым и его учениками, а также брюссельской школой Ильи Пригожина и другими учеными. (См., например, работу автора: Самохин А.А. «Об адиабатическом приближении для матрицы плотности изолированной спин-системы». ЖЭТФ. Т. 51, сентябрь, 1966).

Изучение других неравновесных состояний в системах ядерных спинов твердого тела привело к понятию отрицательной абсолютной температуры, которая горячее любой сколь угодно большой положительной температуры. Это понятие приближало создание лазера, а спиновые магнитно-резонансные явления были практически использованы для томографии.

В нормальных условиях фундаментальные и прикладные аспекты научной деятельности органично связаны между собой. Важно следить при этом, чтобы отклонения от нормы не становились обычным делом, а такая опасность в нашей жизни становится вполне реальной угрозой.