Квадратный корень футбольного мяча

Рис. 1

Поверхность классического, «пятнистого» футбольного мяча состоит из слегка искривленных 12 правильных пятиугольников черного цвета и 20 правильных белых шестиугольников.

Кстати, «классическим» такой мяч был не всегда: впервые такие покрой и раскраска были использованы для официального мяча на чемпионате мира в 1970 году в Мексике. Черно-белая раскраска тогда была выбрана из соображений контрастности, чтобы мяч был лучше виден на экранах преобладавших в то время черно-белых телевизоров. В последующие годы раскраска официальных мячей менялась, но покрой оставался неизменным вплоть до чемпионата 2002 года.

С точки зрения математики классический футбольный мяч – это усеченный икосаэдр (см. книгу «Математическая составляющая», М., 2015). Этот факт и теория групп, порожденных отражениями, позволяет сделать простую в изготовлении, но красивую модель, которую можно продемонстрировать друзьям (рис. 1). Затратив немного времени на склеивание зеркального трехгранного угла, вы получите возможность, вложив в него раскрашенный треугольник, увидеть модель классического футбольного мяча!

Рис. 2

Что же это за магический зеркальный угол такой, в котором при отражениях виден футбольный мяч? (А на самом деле – икосаэдр, – правильный двенадцатигранник, который виден еще более явно, если вложить одноцветный треугольник; рис. 2).

Зеркальный угол связан с самим икосаэдром: его вершина расположена в центре икосаэдра, а зеркала проходят через стороны одной из граней икосаэдра. Отсюда получаются и условия на стороны равнобедренных треугольников, образующих зеркальный угол. А то, что картинка в таком зеркальном угле будет икосаэдром, гарантирует теория групп, порожденных отражениями.

Как известно, сферу нельзя согнуть из плоской развертки. А можно ли придумать модель мяча, состоящую из плоских панелей, но изначально более близкую к сфере, чем классическая? Понятно, что можно взять многогранник с большим числом граней и вершин, но тогда усложнится процесс изготовления.

После 2002 года начались эксперименты, и в 2014 году на чемпионате мира в Бразилии состоялась премьера нового официального мяча - Brazuca. Модель этого мяча более сферическая, чем классическая. Но при этом Brazuca – это куб! Как и куб, она собирается из шести одинаковых плоских панелей, имеющих по четыре угла, у нее восемь вершин, в каждой из которых сходится по три панели (рис. 3).

Рис. 3

В модели классического мяча вся кривизна сосредоточена в конечном числе «выступающих» вершин. В Brazuca у каждой панели все четыре угла равны 120 градусам, а в вершинах модели встречаются три угла, и значит, сумма углов вокруг вершины равна 360 градусам: поверхность мяча вокруг вершины будет «плоской».

Куда же делась кривизна? В модели Brazuca кривизна «размазана» по длинным ребрам, и из-за этого модель становится существенно более близкой к сфере.

Официальный мяч нашего чемпионата 2018 года – тоже куб в описанном выше смысле. Только в отличие от предыдущей модели панели имеют не кривые границы, а являются плоскими многоугольниками.