Портрет в фазовом пространстве

Кадр из фильма «Радиофак: начало». Автор Евгений Стрелков

Наука в Горьком

По инициативе Андронова и двух его приятелей по Московскому университету Габриэля Горелика и Марии Греховой в 1945 году в Горьковском университете был создан радиофизический факультет, первый в стране. И Андронов преподавал там сам и приглашал лекторов из Москвы, например, будущего нобелевского лауреата Виталия Гинзбурга. Гинзбург вспоминал позднее: «В 45-м году замечательный физик А.А. Андронов с коллегами организовали в Горьковском университете радиофизический факультет, куда пригласили меня. Я стал наезжать в Горький…»

Да и само имя Горьковского (Нижегородского) университета связано с Андроновым, который глубоко заинтересовался судьбой Николая Ивановича Лобачевского, погрузился в архивы, вместе с коллегами определил место дома в Нижнем, где родился великий математик, писал о нем статьи – и в итоге добился присвоения Горьковскому университету имени Лобачевского.

По отзывам современников, Александр Андронов был удивительно симпатичным человеком, верным другом, увлеченным исследователем. «Могу без преувеличения сказать, что человека столь замечательного… я больше не встретил», – вспоминал об Андронове его коллега – математик Лев Понтрягин. «Я не знал и не знаю ни одного человека, который бы отличался от моего идеала хорошего человека меньше, чем А.А. Андронов», – писал Габриэль Горелик. Андронов задал очень высокие стандарты научного и человеческого поведения – и не только в Горьком.

Его современники отмечают «абсолютную честность» (механик ГИФТИ Николай Кулагин), «нетерпимость к фальши» (ученик, в будущем декан радиофака Яков Николаев), «абсолютное отсутствие лицемерия» (друг и коллега Габриэль Горелик). Мне, человеку из другой эпохи, трудно увязать все эти характеристики со статусом Андронова – академика, депутата Верховного совета СССР. Человека, чей соавтор Александр Витт был в 1938 году уничтожен конвейером сталинских репрессий и великая книга «Теория колебаний» вышла с двумя (Александр Андронов, Семен Хайкин), а не с тремя именами на обложке. Такое время. У Игоря Тамма, другого ученика Мандельштама, был расстрелян в 1937-м старший брат Леонид, химик и экономист. Брат Сергея Вавилова, великий генетик Николай Вавилов погиб в 1943-м в саратовской тюрьме. А они сами как-то жили – и великолепно работали. Надеялись на другие времена. Правда, многие рано умерли от сердечных, как правило, болезней. В том числе и академик Андронов.

«Андронов был цельным жизнерадостным человеком, очень много знавшим и жадно всем интересовавшимся» – отзыв Габриэля Горелика. Были и другие отзывы. Так, в 1937-м на комиссии по чистке в ГГУ некто Котов заявлял: «Я не думаю, что группа ГИФТИ во главе с Андроновым занимается только склочничеством. Этой группой ведется неверная работа, вся их борьба, все их действия неверные. Эту группу необходимо разбить, иначе эту группу могут использовать в целях контрреволюционной работы». Ему вторил Маланов: «Группа Андронова… борется с дирекцией. Эта группа (недовольные люди) могут в одно время направить свою работу в другую сторону…»

Нам неведомо, чего стоили такие оценки Андронову и его делу… В 1949-м Андронов защищал от нападок своих учителей: «Акулов изображает деятельность Мандельштама и Папалекси во время Великой Отечественной войны в юмористическом тоне, злословя по поводу проводившихся ими измерений до Луны и т.п. Да ведь эта издевка только раскрыла перед нами поразительную безграмотность Акулова!» Пришлось Андронову выслушивать и риторический вопрос Дмитрия Иваненко, известного советского физика, преподавателя на физфаке МГУ, заданный на всесоюзном совещании по физике 2 марта 1949 года: «Неужели вы вопреки долгу советского ученого сочли возможным хлопотать в то время за доктора Гинзбурга вместо того, чтобы указать ему на недопустимость его поведения?» В марте 1949-го вместе с Таммом, Фоком, Ландсбергом и Марковым Андронов отстаивал физику от нападок «идеологизаторов». Теорию относительности и квантовую механику удалось тогда увести от намеченной ей властями участи разгромленной годом раньше генетики. Тут, конечно, сыграла роль термоядерная бомба, которую без новой физики было никак не сделать (это поняли в сталинском окружении), но значение имела и солидарность вступившихся за физику академиков.

Фазовые плоскости с разными точками равновесия.  Рисунок А.А. Андронова. Из архива Музея Нижегородского университета

Начало XX века – взлет ядерной физики, о чем мы все наслышаны, так как результат исследования атомного ядра – атомная бомба, объект слишком заметный и памятный, прежде всего чудовищными бомбардировками Хиросимы и Нагасаки. Ядерное противостояние СССР и США в холодной войне, создание водородной бомбы, а потом упорная (еще не законченная) работа над термоядерным синтезом – яркие страницы и науки, и политики. Но в начале XX века возникла и совсем другая, поначалу далекая от ядерных проблем физика. Тогда чрезвычайно быстро развивалось радио – от примитивных разрядников Герца–Попова–Маркони конструкторы перешли к мощным ламповым генераторам, системам принципиально нелинейным и очень сложным – хотя бы по числу элементов. Их модельное описание потребовало привлечения физики и физиков. И научный руководитель Андронова Леонид Мандельштам предложил ему тему, как раз связанную с физикой нелинейных осцилляторов.

Описывающие их системы нелинейных дифференциальных уравнений не допускают аналитического решения, а компьютеров для численного счета тогда не было. Но еще в 1911 году Николай Папалекси, ближайший друг и коллега Леонида Мандельштама, попробовал заменить нелинейную часть в уравнениях на кусочно-линейную. А Баркгаузен и Ван-дер-Поль качественно оценивали амплитуду колебаний, исследовали устойчивость колебательного режима. И Андронов двигался тем же маршрутом: вслед за Анри Пуанкаре и Ван-дер-Полем он понял: хотя решить «в лоб» нелинейную систему уравнений нельзя, описать ее эволюцию – можно. И главное, что нам интересно в этой эволюции, – появление и исчезновение, а также устойчивость предельных циклов. Именно предельным циклам на фазовой плоскости (как правило, это плоскость двух параметров – координаты и скорости) отвечают незатухающие периодические колебания генератора. Фазовый портрет системы – это именно портрет, обобщенный и упрощенный, но ясный и узнаваемый. И, что важно, универсальный. Системы очень разные, а их портреты схожи. Что позволило создать общую теорию для самых разнообразных случаев – теорию колебаний нелинейных динамических систем.

Андронов очень глубоко для физика погрузился в математику. Ту, что была разработана Пуанкаре, Ляпуновым и другими для небесной механики, где уравнения, как и в случае ламповых генераторов, нелинейны, а элементы системы – многочисленны. Андронов привлек к своим работам математика Льва Понтрягина, и они (вместе с учениками и коллегами) ввели в научный обиход и детально разработали понятие «грубая система». Грубые системы устойчивы к небольшим изменениям параметров (так, в разных генераторах лампы не идентичны, но генераторы работают схоже). И в таких системах существуют области параметров, для которых топология траекторий (а значит, и режим работы) не меняется. А вот на границах этих областей происходят бифуркации – резкие изменения поведения системы с появлением совсем другой топологии траекторий. Возникла красивая и ясная теория, где предельным циклам соответствуют незатухающие периодические колебания, а фазовая плоскость с ее особыми точками – узлами, фокусами, центрами и седлами (все это термины, отвечающие за разные типы поведения системы) – наглядная и информативная карта.

Как писал один из учеников академика Андронова профессор Горяченко, до Андронова «математики не подозревали, что предельные циклы живут в прикладных задачах, а физики и инженеры, занимающиеся исследованием колебаний, не знали, что уже существует математический аппарат, необходимый для общей теории колебательных процессов». Сам Андронов сформулировал это так: «Предельный цикл есть геометрический образ, изображающий в фазовом пространстве периодические движения автоколебательной системы; он представляет собой замкнутую кривую, к которой асимптотически приближаются соседние фазовые траектории». А Мандельштам подытожил: «Опираясь на этот аппарат… можно будет вырабатывать новые руководящие точки зрения, которые позволят мыслить нелинейно».

Мыслить нелинейно

Мыслить нелинейно горьковчане-нижегородцы начали в самые разные стороны. Поначалу это были лишь радиотехнические устройства, потом сверхвысокочастотные генераторы – магнетроны. Те, что питали радары, – ведь именно под радарную тематику создавали радиофизический факультет в Горьком. Затем нелинейный аппарат был приложен к любым автоматическим регуляторам – от клапанов паровой машины до стержней атомного реактора (реакторами занимались уже ученики Андронова в промышленности и в университетском НИИ механики). Во время войны Андронов отвлекся на задачи размагничивания кораблей, но после войны вернулся к автоматическому регулированию, которое потребовалось для самых разных систем – от автопилотов и биореакторов до химической кинетики и экологических моделей.

Аспирант Андронова Сергей Жевакин обнаружил автоколебания в пульсациях звезд-цефеид. Показав, что там «клапаном-регулятором» служит ионизация гелия в оболочке звезды, определяющая переменную прозрачность оболочки для излучения. Любопытно, что от прозрачности звездных оболочек Жевакин с коллегами перешли к прозрачности земной ионосферы для солнечного излучения, и ионосферные исследования – до сих пор конек нижегородских радиофизиков.

Ученик Горелика (я думаю, что и Андронова тоже, пусть неформально) Всеволод Троицкий прославился измерением температуры горячих недр Луны, а заодно определением типа ее поверхности, что было важно для разворачиваемой тогда лунной космической программы. Из работ Троицкого (не только его, многих ученых, и прежде всего Виталия Гинзбурга) выросла в Горьком целая радиоастрономическая школа.

Наконец, третий ученик Андронова – Андрей Гапонов-Грехов, начав «с общей теории электромеханических систем» (тема его диссертации, предложенная Андроновым), перешел к проблемам сверхвысокочастотной генерации. Гапонов-Грехов руководил созданием гиротрона – СВЧ-генератора, применяемого ныне в токамаках (эпохальное изобретение Игоря Тамма и Андрея Сахарова) для нагрева плазмы в целях осуществления управляемого термоядерного синтеза – то есть создания Солнца на Земле. Как ни посмотри, определенно звездная работа!

Плодотворно и разнопланово занимаясь теорией предельных циклов на фазовой плоскости, Александр Александрович Андронов сам, можно сказать, был устойчивым «предельным циклом». То есть в соответствии с математическим определением «областью», к которой притягивались жизненные траектории его современников и учеников. Продолжая эту физико-лирическую аналогию, отметим, что деятельность академика Андронова определяла в свое время – и много позже – многие параметры незатухающих колебаний научной работы нижегородских радиофизиков, электронщиков и кибернетиков. Что дало, дает и, смеем надеяться, не раз еще даст замечательные научные результаты. 

Нижний Новгород