Высшая математика Арнольда

Академик Арнольд в кулуарах летней научной школы в Дубне, 2006 год.
Фото предоставлено Московским центром непрерывного математического образования

В самом начале месяца, 3 июня, наука потеряла ученого широчайшего диапазона – выдающегося математика современности Владимира Игоревича Арнольда (12.06.1937–03.06.2010). Умер он в Париже; похороны состоялись на Новодевичьем кладбище в Москве 15 июня. Мир утратил личность необычайной яркости и одаренности, чьи научные интересы охватывали огромные пространства математики и естествознания. Невозможно смириться с мыслью, что эта трагедия действительно произошла.

Сын математика

Вся жизнь Владимира Игоревича была восхождением на высочайшие вершины. Детство его прошло в окружении выдающихся личностей. Он родился в Одессе, где в Новороссийском университете у выдающегося математика С.О.Шатуновского учился его отец, ставший замечательным математиком и педагогом – первым доктором педагогических наук в СССР. Четыре поколения его родных по отцу были связаны с математикой. Среди близких родственников по отцу было также много людей, служивших на Черноморском флоте (двоюродные братья отца – пять адмиралов).

Мама Владимира Игоревича Арнольда – искусствовед по образованию. Она была племянницей одного из самых выдающихся физиков нашей страны – Леонида Исааковича Мандельштама, основоположника целой школы, среди учеников которого были будущие академики И.Е.Тамм, М.А.Леонтович, А.А.Андронов и другие. Общение с ними оказало очень большое влияние на мальчика.

В Москве Арнольды жили в одном из арбатских переулков, в самом центре города, который еще мальчиком Арнольд знал как никто. Он стал учиться в знаменитой 59-й школе, из которой вышло множество выдающихся людей, в частности, математиков, механиков и физиков. Владимир Игоревич с большой любовью вспоминал своих учителей, особенно учителя математики И.В.Морозкина, от которого он приобрел, по его словам, «первый математический опыт». Большое влияние на юношу оказало и его участие в домашнем кружке А.А.Ляпунова, носившем название ДНО – добровольное научное общество. Там обсуждались самые глубокие проблемы науки.

13-я проблема

В 1954 году Арнольд становится студентом механико-математического факультета Московского университета (в ту пору других университетов в Москве не было). «Плеяда великих математиков, собранных на одном факультете, представляла собой явление совершенно исключительное, и мне не приходилось встречать ничего подобного более нигде», – вспоминал Арнольд. При этом им были названы имена (последовательность имен принадлежит В.И.) А.Н.Колмогорова, И.М.Гельфанда, И.Г.Петровского, Л.С.Понтрягина, П.С.Новикова, А.А.Маркова, А.О.Гельфонда, Л.А.Люстерника, А.Я.Хинчина и П.С.Александрова.

Когда Арнольд учился на втором курсе, Андрей Николаевич Колмогоров объявил семинар для младшекурсников. На первом заседании, говоря о дальних перспективах, А.Н. сказал, что можно помечтать и о том, чтобы найти подходы к решению 13-й проблемы Гильберта о невозможности свести функции многих переменных к суперпозициям функций меньшего числа переменных.

А далее произошло непредвиденное: Андрей Николаевич неожиданно для самого себя с неслыханной энергией стал атаковать проблему Гильберта и сделал решительный прорыв в ее опровержении. Он доказал, что непрерывные функции многих переменных можно свести к функциям трех переменных. Последний шаг в решении проблемы Гильберта он предоставил своим последователям. Этим последователем оказался третьекурсник Арнольд.

В апреле 1957 года на столе Колмогорова лежала ученическая тетрадочка в клетку – курсовая работа студента третьего курса Владимира Арнольда. В ней была решена 13-я проблема Гильберта. Это была первая работа Арнольда, сделавшая его имя известным всему математическому миру. А затем началась череда открытий, само перечисление которых занимает несколько страниц.

В своей дипломной работе Арнольд далеко развил один колмогоровский метод в теории динамических систем. Затем дальнейшее развитие этот метод получил в работах выдающегося математика Юргена Мозера. Теория, построенная этими тремя математиками, получила название КАМ-теории – теории Колмогорова–Арнольда–Мозера. Эта теория получила многочисленные приложения к математике, механике, космологии, физике.

Арнольдом были преобразованы целые математические области. Например, «теория особенностей». В философии со времен Гегеля высказывалась идея о том, что «при переходе количества в качество» эволюционные процессы нередко совершают скачки. На этом во многом строилась «теория революций». Процессы со скачками стали интенсивно изучаться в середине прошлого века. Один из основоположников нового направления, французский математик Р.Том, предложил название – «теория катастроф».

В работах Арнольда эта теория получила выдающееся развитие. Всегда избегающий неоправданной рекламы, В.И. называет это направление «теорией особенностей», подчеркивая, что она возникла в работах Х.Уитни в 50-е годы.

Велики его достижения в естествознании – гидродинамике, космологии, теории потенциала. С увлечением и убежденностью Арнольд развивал и пропагандировал идеи Пуанкаре о том, что математика – это часть естествознания.

Педагог, путешественник, книжник

Арнольд служил своей профессии и просвещению на всех возможных поприщах. Он основал выдающуюся математическую научную школу, написал замечательные учебники (его учебник по классической механике сравнивают с величайшим произведением научной литературы – «Математическими началами натуральной философии» Ньютона), множество монографий и обзорных статей, посвященных проблемам математики. Он вел страстную борьбу против обскурантизма и примитивизации науки, за фундаментальное математическое образование на всех уровнях – от дошкольного до университетского. На всех трибунах – от выступлений в прессе до Государственной Думы.

Начиная с руководства знаменитым школьным математическим кружком в 50-е годы, Арнольд очень много внимания уделял непосредственной работе со школьниками. В 1963 году он участвует в работе первой летней математической школы, а последние десять лет ежегодно проводил на юношеских школах в Дубне. Прочитанный В.И. курс для первых выпускников ФМШ (ныне – им. А.Н.Колмогорова) стал не только педагогическим шедевром (оказывается, школьникам можно серьезно рассказать о современной математике!), но и содержал крупный научный результат. По инициативе Владимира Игоревича были созданы Московский центр непрерывного математического образования и Независимый Московский университет.

Арнольд был удостоен множества званий, докторских степеней и наград. Среди премий – премия Московского математического общества (1958; ею Владимир Игоревич особенно гордился), Ленинская премия (1965; вместе с А.Н.Колмогоровым), Крафоордская премия Шведской академии наук (1882), Харвиевская премия Техниона (1994), Государственная премия Российской Федерации (2007), Премия имени Жунь-Жуньшоу (2008; ее называют Нобелевской премией Востока).

Общая одаренность его личности проявлялась в самых разнообразных его реакциях и увлечениях. Он был необычайно ярким экскурсоводом по Парижу. Приученный с детства к велосипеду Игорем Таммом, он совершал длительные, порой – стокилометровые, велосипедные прогулки по Подмосковью и по окрестностям Парижа. При этом он и здесь совершал топографические съемки, фиксируя места, где находились поляны с грибами, щавелем, земляникой или кустарники с малиной.

По ходу дела им совершались и гуманитарные открытия (вызвало всеобщий восторг его открытие связи эпиграфа к пушкинскому «Евгению Онегину» с текстом из «Опасных связей» Ш. де Лакло).

Замечательную характеристику Арнольда дал его учитель – Андрей Николаевич Колмогоров. Будучи смертельно больным (через четыре месяца его не стало), фактически лишенный возможности говорить (его речь сковывала болезнь Паркинсона), Колмогоров продиктовал приветствие своему ученику к его 50-летию. В ту пору, когда Арнольд был невыездным и не имел крупных академических званий, Колмогоров выразил «свое убеждение в том, что происходит чествование первого советского математика, не только по силе полученных результатов, но и по темпераменту личности, по способности воспринимать новое и смелости в преодолении препятствий».

* * *

Владимир Игоревич Арнольд начал свой путь в бессмертие. Все связанное с ним – необыкновенная одаренность личности, творчество, служение человечеству – делает его образ незабываемым для всех, кому посчастливилось соприкоснуться с ним на своем жизненном пути.