Валентин Бажанов
На каком основании строится здание математики – споры продолжаются. Фото Pixabay
Взгляды на природу математической реальности располагаются между двумя крайностями. На одном полюсе – реализм (часто называемый платонизмом), утверждающий, что математические конструкции существуют вне и независимо от человеческого сознания в некоторой «трансцендентной», малодоступной непосредственному восприятию реальности. На другом – антиреализм (близкий по своим установкам номинализму), согласно которому математические структуры и объекты являются творческими продуктами человеческого воображения. В первом случае человеческое сознание, подобно путешественнику, открывает новые математические «земли», во втором ‒ воображение, подобно инженеру, планирует и возводит новые математические конструкции, требующие новых понятий и принципов их организации.
«Объективной математики» не существует
Природа математики, основания математического творчества, феномен числа и другие проблемы философии математики привлекают внимание самых различных направлений в контексте когнитивных исследований. Так, концепция энактивизма уже два десятка лет тому назад обрисовала некоторый общий подход к проблеме происхождения математики. «Математика, которую мы знаем, структурирована и лимитирована свойствами человеческого мозга и психики, – констатировали философы и когнитивные лингвисты Дж. Лакофф и Р. Нуньес в 2000 году. ‒ Единственная математика, которую мы знаем или вообще можем знать, связана с нашим мозгом и сознанием».
Сторонники энактивизма считают, что «объективной математики» в смысле Геделя – в виде той самой «трансцендентной» реальности – не существует; можно говорить лишь о существовании «субъективной математики» – фактически в духе антиреализма.
Впрочем, аналогичные суждения принадлежат и активно работающим математикам, которые добились выдающихся результатов. Так, один из крупнейших математиков современности, М. Атья, был склонен утверждать, что «абстрактное понятие величины (способность отличать меньшее от большего) имеет корреляты в самом мозге, и таким образом, оно носит врожденный характер». Это означает, что в конечном счете основания математического творчества следует искать в активности некоторых нейронных сетей, ответственных за человеческие способности к воображению и абстрактному мышлению.
О том, что наивно считать математику отражением материального мира или же некоторой реальности в духе Платона в 1989 году писал философ Й. Рав. Он рассматривал математическую деятельность как своего рода искусство, приобретающее характер объективности посредством социального взаимодействия тех, кто его производит.
Исследования последнего десятилетия в области когнитивной нейронауки позволяют существенно уточнить детали того, как математика связана с нашим мозгом и сознанием.
Это уточнение связано с открытием феномена, получившего название (если не вдаваться в тонкости интерпретации содержания понятий) «чувство числа», процесс субитации. С одной стороны, этот феномен свидетельствует об усилении натуралистических тенденций в философии математики, а с другой, как будет показано ниже, не обойтись и без соображений, относящихся к социоцентризму, который подчеркивает важность социокультурных факторов в освоении числовой и представленной в дигитальных процедурах производства информации и оперировании современными математическими понятиями. В частности, это касается открытия и придания общезначимого статуса образу числовой прямой – изображение множества чисел в виде непрерывной линии, простирающейся от минус до плюс бесконечности.
Феномен «чувства числа»
Суть «чувства числа», феномена субитации, состоит в том, что способность симультанно воспринимать и различать небольшие количества (от одного до примерно четырех) в силу их важности для сохранения жизни и устойчивого функционирования системы является врожденным продуктом эволюции живого и, таким образом, универсальным. Это – сквозное свойство любого более или менее развитого организма, детерминированное онтогенетически – от муравьев и рыбок гуппи до человеческого младенца, который уже в возрасте нескольких месяцев обычно способен совершать простейшие протоарифметические операции «сложения» и «вычитания» нескольких предметов.
Если иметь в виду своего рода жесткое ядро данного понятия, то это способность не только симультанно воспринимать небольшие количества (предметов), но и сравнивать их с точки зрения различия единиц и порядка расположения, совершать простейшие арифметические операции (сложения и/или вычитания), понимать значения цифр, осознавать степень соответствия или несоответствия чисел количеству реальных вещей (репрезентативный аспект), ошибки в восприятии числовых величин, а также местонахождение чисел на (ментальной) числовой оси.
«Чувство числа» может совершенствоваться: способность различать близко расположенные числа по мере взросления увеличивается, подчиняясь закону Вебера–Фехнера. Причем ошибки при различении логарифмически зависят не от абсолютных значений величин множеств сравниваемых предметов, а от их соотношения – чем больше элементов множества, тем с меньшей точностью могут быть установлены их соотношения. Наличие такого рода способности между тем вовсе не означает, что в любом человеческом сообществе имеется и развита категория числительных в языке.
Племена, до сих пор находящиеся на примитивном уровне развития, вполне обходятся без сколько-нибудь развитых категорий числительных (десятки языков австралийских племен подобного не имеют). Это своего рода «нечисловые» культуры, представители которых испытывают значительные сложности при необходимости вести счет и устанавливать точное количество объектов. В то же время данные «нечисловые» сообщества, которые до сих пор обитают также, например, в дельте реки Амазонки, могут быть очень хорошо адаптированы к окружающей среде, составляя с ней единое целое.
Понятие «целого числа» возникает в продвинутых культурах, которые используют достаточно сложные языки. Как замечал еще один из крупнейших мыслителей ХХ века К. Поппер, «натуральные числа – итог деятельности человека, продукт человеческого языка и человеческого мышления». Число вообще и целое (натуральное) число в частности оказывается результатом взаимодействия протодигитальной интуиции, связанной с феноменом субитации, и культурных традиций, характерных для «числовых» сообществ, специально обучающих детей счету и работе с точными числовыми величинами. Такого рода обучение считается важным элементом подготовки к школе, оно впоследствии существенно облегчает восприятие математических конструкций и усвоение математических операций.
Нейрофизиологическая основа «чувства числа» – это активность прежде всего такой области мозга, как внутритеменная борозда теменной доли. Здесь «обслуживается» одна из – как считается, двух – когнитивных систем, связанных с математическими способностями. Эта система функционирует вне зависимости от культуры и языка. Она предполагает приближенную и несимволическую оценку количеств. Здесь происходят элементарные процедуры сравнения и такие операции, как сложение и вычитание, – собственно то, что принято относить к феномену субитации.
Вторая же система предполагает символьный и языковой формат представления информации; она генерируется культурой и позволяет совершать все известные нам математические операции.
Лингвистические и математические способности локализуются в различных участках мозга и, строго говоря, не связаны: потеря или нарушение речи вовсе не влечет за собой нарушения математических способностей. Именно эта когнитивная система, по-видимому, прежде всего ответственна за свойство пластичности мозга. Совокупности нейронов, которые возбуждаются при обработке числовой информации, Ч. Галлистелем предложено называть «нумеронами».
«Чувство числа» и язык
При функционировании живых систем оценка количества тех или иных объектов играет важную роль. Лингвистами и нейробиологами замечено, что понятия, выражающие числительные в различных языках, являются наиболее устойчивыми, «консервативными» (при всех метаморфозах, которые могут произойти с языком). В индоевропейском семействе языков они принадлежат примерно 10 наиболее медленно меняющимся словам. Вероятно, именно язык открывает возможность интеграции упомянутых выше систем кодирования мозгом информации.
Несмотря на априорный характер «чувства числа», само число нуждается в лингвистическом оформлении и оказывается производным от процесса аккультурации этого чувства, благодаря которому оно получает понятийную и символическую репрезентацию. Стартовая позиция процедур счета, как известно, связана с непосредственной деятельностью, которая может вовлекать человеческие конечности (пальцы, руки) в сопоставление их количеств с некоторыми множествами предметов. Неслучайно наиболее распространены языки с пятеричными и десятичными системами счисления. В английском языке понятие digit (отсюда – «дигитальный» для обозначения цифровых систем и операций) тождественно понятию руки (hand).
Дискретный характер естественных языков коррелируется с дискретной системой натуральных чисел. Большие числа – порождение уже развитых культур и цивилизаций. Это своеобразное и очень ценное культурное достояние, приобретенное на довольно высоких стадиях совершенствования рационального мышления и открывающее им перспективы научного и технологического прогресса.
Стоит обратить внимание на то обстоятельство, что наша лексическая система и система обозначения числительных существенно различны: первая является мультипликативно-аддитивной («сто [И] тридцать семь»), приспособленной прежде всего для устной коммуникации, а вторая – позиционной («137»), приспособленной для преодоления ограничений нашего непосредственного синтаксического анализа в ходе зрительного восприятия и для быстрого чтения соответствующих символов. Непозиционная (римская) нотация чисел уступила место позиционной именно ввиду значительно большей сложности процедур с числами, изображение которых лишено позиционности.
Особенности языков влияют и на своего рода «оперативный» объем памяти. Если у носителей большинства индоевропейских языков этот объем в среднем равен семи единицам, то у китайцев он в среднем составляет девять единиц. Данный факт не свидетельствует о том, что китайцы в среднем умнее европейцев, а – в случае числительных – о более «компактных» в китайском, нежели в индоевропейских языках, обозначениях для числительных и, стало быть, временем, которое затрачивается для того, чтобы их произнести. Корреляция между длиной слова и объемом «оперативной» памяти является довольно выраженной для наиболее распространенных в мире языков.
Математика и культура
«Чувство числа» является врожденным (innate) и, следовательно, в известном смысле априорным при любой познавательной деятельности. Неслучайно ведущие ученые в области когнитивной нейронауки объявляют свою программу изучения архитектоники мозга ответственной за вычислительные операции, «кантианской исследовательской программой» и говорят о «кантовском» мозге. Конечно, речь идет не о буквальном следовании кантовской идее априоризма (и, разумеется, не о мозге Канта как таковом), но о том, что ряд моментов кантовской философии оказывается созвучен самым современным представлениям о ключевых механизмах функционирования мозга в качестве фундамента когнитивных систем живых организмов.
Признание «чувства числа», по существу, является антитезой для идеи Ж. Пиаже о последовательной когнитивной эволюции интеллекта, поскольку это чувство уже является стартовой точкой данного процесса. Это та элементарная клеточка, из которой вырастают сложные компоненты (математического) интеллекта. Его можно назвать своего рода базисом абстрактного мышления, которое способно генерировать понятия, представления и операции с числовой и символической информацией все более и более высокого уровня.
Нередко образ и функционирование мозга уподобляют компьютеру. Если принять эту метафору, то речь должна идти не о цифровом компьютере дискретного действия, оперирующем числовыми или символическими переменными, а об аналоговом устройстве, которое обрабатывает непрерывный поток поступающей информации.
Развитие абстрактных разделов математического знания может быть описано в общем виде с помощью понятий, восходящих к колмогоровской теории сложности: с психологической точки зрения сложность восприятия математических конструкций может быть связана со сложностью определения, запоминания и оперирования теми или иными математическими представлениями. Сложность здесь измеряется наиболее коротким из всех возможных определений данного математического конструкта, доступным для начала его применения.
Восхождение на более высокие уровни абстракций происходит благодаря действию культурных механизмов, сопряженных с математическим творчеством и способствующих обогащению математической интуиции. Дело в том, что наглядное (геометрическое) изображение множества чисел в виде натурального ряда, расположенного на числовой оси, – это достижение XVII века, а свой общезначимый статус оно приобрело только в начале ХХ века. Даже у Р. Декарта, объединившего арифметику и геометрию, открывшего систему координат и тем самым создавшего аналитическую геометрию, отсутствовало «линейное» изображение чисел (в виде известной и, кажется, интуитивно очевидной числовой прямой).
Числовая прямая фактически была введена Дж. Непером в «Описании удивительной таблицы логарифмов» 1614 года и Дж. Уоллисом в «Трактате по алгебре» 1685 года. Только с этого момента числовая прямая (числовая ось) начала свой путь в качестве элемента культуры вообще, который дает простой и интуитивно очевидный, геометрический образ множества чисел. Числа погружаются в линейное пространство. Этот образ ныне усваивается уже на первых шагах обучения арифметике и представляется естественным, объективно заданным самой природой числа. История математики показывает, что это вовсе не естественное ментальное образование, а, по существу, культурный артефакт, превратившийся по мере развития математического анализа и теории множеств в силу своей наглядности в, казалось бы, предзаданную – и тем самым естественную – репрезентацию.
Аналогична ситуация с числом ноль. Его открытие – также достижение определенной культуры. Причем это число также было ассимилировано европейской математикой примерно в XVII столетии, хотя в индийской математике оно было введено Брахмагуптой в VII веке. Это обстоятельство способствовало экспансии позиционной системы счисления. Однако и в случае данного числа можно говорить о наличии своего рода универсальных для живых систем нейрофизиологических предпосылок, которые необходимо иметь в виду при анализе процесса его формирования как культурного артефакта.
Культурный контекст уже несколько десятилетий широко исследуется в этноматематике, которая фокусирует внимание на особенностях эволюции математического мышления в различных культурах. Этноматематика демонстрирует многообразие траекторий эволюции математического мышления у различных народов в различные исторические периоды.
Необходимо также упомянуть экспериментальные свидетельства, полученные методами функциональной магнитно-резонансной томографии, о том, что в различных культурах (западных – «индивидуалистических» и восточных – «коллективистских») при одних и тех же арифметических операциях возбуждаются различные области мозга. Ученые полагают, что это обусловлено разными методами обучения началам арифметики. В восточных культурах значительная роль отводится операциям, которые совершаются с помощью абака, предполагающим визуальные и механические навыки. В западных же культурах бòльшее внимание уделяется алгоритмическим процедурам и, следовательно, навыкам аналитического рассуждения.
В раннем детстве не наблюдается никаких значимых различий в математических способностях мальчиков и девочек. Эти различия, однако, постепенно возникают в силу культурных факторов, характерных для конкретного гендера: мальчики и девочки воспитываются по-разному с учетом отличий в социальных ролях в будущем (обычно считается, что математика менее важна для девочек, нежели для мальчиков).
Математика – важный компонент культуры, причем раннее обучение математике, как свидетельствует многолетний опыт, в значительной степени определяет успех индивидуума в жизни, а низкий уровень математических знаний граждан сопряжен с существенными потерями в темпе общественного развития. Детали этих процессов раскрываются в контексте идеи и методологии биокультурного (нейро)конструктивизма, предложенной автором настоящей статьи: математические способности стимулируют рост культур, а культура, в свою очередь, детерминирует повышение уровня математического потенциала людей в буквальном смысле на нейрофизиологическом уровне. (Речь о «второй системе» мозга, связанной с символьным и языковым форматом представления и обработки информации.)
Платонизм vs номинализм
Если вернуться к дискуссии реализма (платонизма) и антиреализма (номинализма) в философии математики, то, как мне кажется, приведенные эмпирические факты достаточно убедительно свидетельствуют в пользу понимания природы математики в духе антиреализма ‒ анализ формирования базисных математических понятий в контексте человеческой деятельности, характерной для определенной культуры. «Формальные идеи в математике, – замечает нейропсихолог М. Сигман, – это не произвольные конструкции случайной архитектуры; они – результат работы мозга… Поэтому натуралистический подход к природе математики более перспективен, чем ее понимание под углом зрения платонизма математика не просто поможет нам понять биологию; она есть сама биология».
Наконец, можно обратить внимание на то, что феномен «чувства числа» как фундамент математического познания наиболее адекватно описывается в представлениях, типичных для философских оснований математического интуиционизма голландского философа и математика Л.Э.Я. Брауэра. Этот исследователь разделял математическое творчество и язык, полагая, что математика относится к сфере внеязыковой деятельности мозга и имеет фундамент в виде восприятия феномена времени, составляющий глубокий базис математической интуиции.
Впрочем, взгляды Брауэра и таких выдающихся математиков, как А. Пуанкаре и Г. Вейль, в определенном смысле явились развитием и «уточнением» идей И. Канта, когда понятие интуиции «реконфигурируется» и становится более абстрактным, поскольку не сводится к представлениям о пространстве (и его геометрических свойствах). Придавая времени статус фундаментального понятия в философии математики интуиционизма, Брауэр опирается исключительно на априорную интуицию времени, приписывает времени свойство бесконечности и интерпретирует интуицию времени в качестве связующего звена между различными фрагментами опыта.
Ульяновск
Константин Ремчуков 
комментарии(0)